Признак сравнения и его следствия

Пусть $0 \leq f(x) \leq g(x) ~~~\forall{x \in [a, b]}$. Тогда: - Если $\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx$ - сходится, то $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ - сходится - Если $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ - расходится, то $\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx$ - расходится

По критерию Коши для неопределённых интегралов: $$\left| \int_{b'}^{b''} f(x) \, dx \right| \leq \left| \int_{b'}^{b''} g(x) \, dx \right| < \varepsilon$$ А значит $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ - сходится. Второй случай доказывается простым отрицанием импликации. $\square$

Формулировка: Если $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a, b'] ~~\forall{b' \in [a, b)}$ и: 1. $\exists{c_{1}, c_{2}}\mathpunct{:}~~ 0 < c_{1}g(x) \leq f(x) \leq c_{2}g(x)$ 2. В частности: $\exists{\lim_{x \to b-0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = A > 0}$ То $\forall{h(x) \geq 0}$ интегрируемой на $[a, b']$: $$\int_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx ~~\land~~ \int_{a}^{b} g(x)h(x) \, dx$$ сходятся и расходятся одновременно.

**Случай 1** Домножим неравенство из условия на $h(x)$, получим: $$c_{1}g(x)h(x) \leq f(x)h(x) \leq c_{2}g(x)h(x)$$ Тогда, рассматривая каждое из неравенств и применяя признак сравнения, получаем: - Если $\int\limits_{a}^{b} g(x)h(x) \, dx$ сходится, то $\int\limits_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx$ - сходится - Если $\int\limits_{a}^{b} f(x)h(x) \, dx$ сходится, то $\int\limits_{a}^{b} g(x)h(x) \, dx$ - сходится Аналогично с расхождениями. **Случай 2** Так как $\lim_{x \to b-0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = A > 0$, то по определению: $$\left| \dfrac{f(x)}{g(x)} - A \right| < \varepsilon$$ В качестве $\varepsilon$ возьмём $\varepsilon = \dfrac{A}{2}$: $$A - \dfrac{A}{2} < \dfrac{f(x)}{g(x)} < A + \dfrac{A}{2}$$ Значит: $$\dfrac{A}{2}g(x) < f(x) < \dfrac{3A}{2}g(x)$$ что соответствует 1 случаю. $\square$